Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
則 ，
而 =0．
所以B1C1⊥CE；
（Ⅱ）解： ，
設(shè)平面B1CE的法向量為 ，
則 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以 ．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1 ， 所以B1C1⊥平面CEC1 ，
故 為平面CEC1的一個法向量，
于是 = ．
從而 = = ．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值為 ．
（Ⅲ）解： ，
設(shè) 0≤λ≤1，
有 ．
取 為平面ADD1A1的一個法向量，
設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，
則 =
= ．
于是 ．
解得 ．所以 ．
所以線段AM的長為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意可知，AD，AB，AA1兩兩互相垂直，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值，則二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共線向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和C1的坐標(biāo)及待求系數(shù)λ表示，求出平面ADD1A1的一個法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，則線段AM的長可求．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．