Question

11．等比數(shù)列{a_n}，a₁=3^-5，前8項的幾何平均為9，則a₃=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意列式求得q，代入等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意，$\root{8}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{8}}=9$，
即$（{{a}_{1}}^{8}{q}^{1+2+…+7}）^{\frac{1}{8}}=9$，∴$（{{a}_{1}}^{8}{q}^{\frac{（1+7）×7}{2}}）^{\frac{1}{8}}=9$，得${a}_{1}{q}^{\frac{7}{2}}=9$，
∵a₁=3^-5，∴${q}^{\frac{7}{2}}=\frac{9}{{3}^{-5}}={3}^{7}$，則q=9，
∴${a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}={3}^{-5}×{3}^{4}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．