Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．

（1）求證：AB∥EF；

（2）若PA＝PD＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先證明平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，再由向量的夾角公式計(jì)算即可．

證明：（1）因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形，所以AB∥CD．

又因?yàn)?/span>AB面PCD，CD面PCD，所以AB∥面PCD．

又因?yàn)?/span>A，B，E，F四點(diǎn)共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，

所以AB∥EF．

解：（2）取AD中點(diǎn)G，連接PG，GB．

因?yàn)?/span>PA＝PD，所以PG⊥AD．

又因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．

在菱形ABCD中，因?yàn)?/span>AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD中點(diǎn)，

所以AD⊥GB．

如圖，以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz．

設(shè)PA＝PD＝AD＝2a，

則G（0，0，0），A（a，0，0），．

又因?yàn)?/span>AB∥EF，點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn)．

所以，．

所以，．

設(shè)平面AFE的法向量為n＝（x，y，z），則有所以

令x＝3，則平面AFE的一個(gè)法向量為．

因?yàn)?/span>BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一個(gè)法向量．

因?yàn)?/span>，

所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為．