Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx在x=-$\frac{2}{3}$與x=1處都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線y=f（x）在x=2處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，
（2）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率k，即可求解切線方程

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，
由f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}$a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，
得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-$\frac{1}{2}$，b=-2符合題意；
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2，
曲線y=f（x）在x=2處的切線方程斜率k=f′（2）=8，
又∵f（2）=2，
∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y-2=8（x-2），
即8x-y-14=0為所求．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值得關(guān)系，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．