Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），將函數(shù)f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象；
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）當a≥1，求實數(shù)a與正整數(shù)n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019個零點．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得ω=2，φ=$\frac{π}{2}$，利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=-$\frac{cos2x}{sinx}$$\stackrel{記為}{→}$m（x），可得m（x）=$\frac{-cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，m′（x）=2cosx+$\frac{cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，令m′（x）=0得x=$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，可得m（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，（$\frac{π}{2}$，π）與（π，$\frac{3π}{2}$）上單調遞減，（$\frac{3π}{2}$，2π）上單調遞增，分析可知a=±1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，得n=673*2=1346，從而存在a=1，n=1346或a=-1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
故f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，得φ=$\frac{π}{2}$，所以f（x）=cos2x．
將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數(shù)g（x）=cos（x-0.5π）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），
?a=-$\frac{cos2x}{sinx}$$\stackrel{記為}{→}$m（x），可得m（x）=$\frac{-cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，m′（x）=2cosx+$\frac{cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，
令m′（x）=0得x=$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$，
∴m（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，（$\frac{π}{2}$，π）與（π，$\frac{3π}{2}$）上單調遞減，（$\frac{3π}{2}$，2π）上單調遞增，
當a＞1時，m（x）=a在（0，2π）有2解；
則a=1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，
∴存在a=1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了轉化思想，屬于中檔題．