Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，P是⊙O所在平面外一點，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，設點C為⊙O上異于A、B的任意一點．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱錐C-PAB的體積．

Answer 1

分析 （1）由圓的性質得AC⊥BC，由線面垂直得BC⊥PA，由此能證明BC⊥平面PAC．
（2）由勾股和得BC=8，推導出平面PAB⊥平面ABC，從而點C到AB的距離d即為點C到平面PAB的距離，由此能求出三棱錐C-PAB的體積．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上異于A、B的任意一點，
∴AC⊥BC，
∵P是⊙O所在平面外一點，PA垂直于⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC．
解：（2）∵AC=6，PA=AB=10，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥平面ABC，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，
∴點C到AB的距離d即為點C到平面PAB的距離，
∵$\frac{1}{2}AB•d$=$\frac{1}{2}AC•BC$，
∴d=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
又S_△PAB=$\frac{1}{2}×PA×AB=\frac{1}{2}×10×10$=50，
∴三棱錐C-PAB的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAB}×d$=$\frac{1}{3}×50×\frac{24}{5}$=80．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．