Question

18．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（0，1）處切線的斜率為-3，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導數，可得切線的斜率，由條件可得a=-3，由導數大于0，可得增區(qū)間，由導數小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可得f′（x）≥0對x∈[-2，a]成立，只要f′（x）=x²+2x+a在[-2，a]上的最小值大于等于0即可．求出二次函數的對稱軸，討論區(qū)間[-2，a]和對稱軸的關系，求得最小值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為f（0）=1，所以曲線y=f（x）經過點（0，1），
又f′（x）=x²+2x+a，
曲線y=f（x）在點（0，1）處切線的斜率為-3，
所以f′（0）=a=-3，
所以f′（x）=x²+2x-3．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	減

所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞），
單調遞減區(qū)間為（-3，1）；
（Ⅱ）因為函數f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調遞增，
所以f′（x）≥0對x∈[-2，a]成立，
只要f′（x）=x²+2x+a在[-2，a]上的最小值大于等于0即可．
因為函數f′（x）=x²+2x+a≥0的對稱軸為x=-1，
當-2≤a≤-1時，f′（x）在[-2，a]上的最小值為f′（a），
解f′（a）=a²+3a≥0，得a≥0或a≤-3，所以此種情形不成立；
當a＞-1時，f′（x）在[-2，a]上的最小值為f′（-1），
解f′（-1）=1-2+a≥0得a≥1，所以a≥1，
綜上，實數a的取值范圍是a≥1．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．