Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ+1，
①求{a_n}的通項公式
②設(shè)b_n=log₂a_n+2，求$\{\frac{1}{_{n}_{n+1}}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 ①由已知條件，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出{a_n}的通項公式．
②由${b_n}={log_2}{2^{n+1}}=n+1$，得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由此利用裂項法能求出$\{\frac{1}{_{n}_{n+1}}\}$的前n項和T_n．

解答 解：①∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ+1，
∴n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}+1-{2^{n-1}}-1={2^{n-1}}…$①…（4分）
n=1時，a₁=S₁=3不滿足①式…（5分）
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}3&，{n=1}\\{{2^{n-1}}}&，{n≥2}\end{array}}\right.$…（6分）
②∵n+2≥3，b_n=log₂a_n+2，
∴${b_n}={log_2}{2^{n+1}}=n+1$…（7分），
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$…（9分）
${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2（{n+2}）}}$．…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．