Question

14．如圖點(diǎn)O在△ABC外部（O，A在直線(xiàn)BC的異側(cè)），△ABC與△OBC的面積之比為1：3；記$\overrightarrow{AO}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{AC}$，則λ₁²+λ₂²的最小值為（　�。�

• A． 16
• B． $\frac{16}{9}$
• C． 8
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 設(shè)AO和BC的交點(diǎn)為P，推出$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overline{AC}$，利用三角形的面積推出：$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AO}$，求出λ₁+λ₂=4，利用基本不等式求解最值．

解答 解：設(shè)AO和BC的交點(diǎn)為P，則$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overline{AC}$，
又$\overrightarrow{AO}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{AC}$，
根據(jù)題意，△ABC與△OBC的面積之比為1：3；
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AO}$，
∴t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overline{AC}$=$\frac{1}{4}$λ₁$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$λ₂$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{1}{4}{λ}_{1}}\\{1-t=\frac{1}{4}{λ}_{2}}\end{array}\right.$，
∴λ₁+λ₂=4，則λ₁²+λ₂²≥$\frac{（{λ}_{1}+{λ}_{2}）^{2}}{2}$=8．當(dāng)且僅當(dāng)λ₁=λ₂=2時(shí)取等號(hào)．
 故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．