Question

已知f（x）=

x+2

x+1

（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（2）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論；
（2）由（1）知：在f（x）在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減，即可得到最值．

解答： 解：（1）f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
理由如下：設(shè)-1＜m＜n，則f（m）-f（n）=

m+2

m+1

-

n+2

n+1

=

n-m

(m+1)(n+1)

，
由于-1＜m＜n，則n-m＞0，m+1＞0，n+1＞0，
則f（m）-f（n）＞0，即有f（m）＞f（n）．
則f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知：在f（x）在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減，
所以f（x）最大值=f（2）=

4

3

，
f（x）最小值=f（6）=

8

7

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及證明，注意運(yùn)用定義，考查單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，屬于基礎(chǔ)題．