Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞0．前n項(xiàng)和S_n＞0，則公比q的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-∞，0）∪（0，+∞）
• C、（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪[1，+∞）}

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，只需

1-qn

1-q

＞0恒成立，下面分類(lèi)討論：（1）當(dāng)q＞1時(shí)，顯然成立；（2）當(dāng)q=1時(shí)，a₁＞0，S_n＞0一定成立；（3）當(dāng)q＜1時(shí)，需1-qⁿ＞0恒成立，再分當(dāng)0＜q＜1時(shí)，當(dāng)-1＜q＜0時(shí)，當(dāng)q＜-1時(shí)，當(dāng)q=-1時(shí)，綜合可得答案．

解答： 解：∵S_n＞0，∴a₁＞0，
∴

1-qn

1-q

＞0恒成立，
（1）當(dāng)q＞1時(shí)，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，顯然成立，
（2）當(dāng)q=1時(shí)，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）當(dāng)q＜1時(shí)，需1-qⁿ＞0恒成立，
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，1-qⁿ＞0恒成立，
當(dāng)-1＜q＜0時(shí)，1-qⁿ＞0也恒成立，
當(dāng)q＜-1時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1-qⁿ＞0不成立，
當(dāng)q=-1時(shí)，顯然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的公比的取值范圍的求法，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用，屬中檔題．