Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-2cosx，對(duì)于$[-\frac{2π}{3}，\;\frac{2π}{3}]$上的任意x₁，x₂有如下條件：
①x₁＞x₂；       ②${x_1}^2＞{x_2}^2$；   ③x₁＞|x₂|；   ④|x₁|＞x₂；
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是②③ （填寫序號(hào)）

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f（x）是偶函數(shù)，f（x）在（0，$\frac{2π}{3}$]上是增函數(shù)，從而f（x）圖象類似于開(kāi)口向上的拋物線，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵f（-x）=（-x）²-2cos（-x）=x²-2cosx=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
∵f′（x）=2x+2sinx＞0，x∈（0，$\frac{2π}{3}$]，
∴f（x）在（0，$\frac{2π}{3}$]上是增函數(shù)．
∴f（x）圖象類似于開(kāi)口向上的拋物線，
∴若|x₁|＞|x₂|，則f（x₁）＞f（x₂），
∵x₁＞x₂成立，|x₁|＞|x₂|不一定成立，∴①是錯(cuò)誤的．
∵x₁²＞x₂²成立，|x₁|＞|x₂|一定成立，∴②是正確的．
∵x₁＞|x₂|成立，|x₁|＞|x₂|一定成立，∴③是正確的．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足題意的條件的選擇，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．