Question

2．在極坐標系中，設(shè)曲線C₁：ρ=2sinθ與C₂：ρ=2cosθ的交點分別為A，B，則線段AB的垂直平分線的極坐標方程為（　�。�

• A． ρ=$\frac{1}{sinθ+cosθ}$
• B． ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$
• C． θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）
• D． θ=$\frac{3π}{4}$（ρ∈R）

Answer 1

分析 分別求出曲線C₁和C₂的直角坐標方程，聯(lián)立方程組求出A、B的坐標，先求出線段AB的垂直平分線的普通方程，由此能求出線段AB的垂直平分線極坐標方程．

解答 解：∵曲線C₁：ρ=2sinθ，∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=2y，
∵C₂：ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴C₂的直角坐標方程為x²+y²=2x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴線段AB的垂直平分線的斜率k=-1，AB的中點為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴線段AB的垂直平分線的方程為：y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$），即x+y-1=0．
∴線段AB的垂直平分線極坐標方程為ρsinθ+ρcosθ=1，即$ρ=\frac{1}{sinθ+cosθ}$．
故選：A．

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程、普通方程的互化，考查直線極坐標方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理運用．