Question

 

     如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.

（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；

（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；

（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

 

 

Answer 1

【答案】

 證明：（I）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形。所以AF∥EG。因?yàn)镋GP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。

（II）因?yàn)檎�方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。則C（0， 0， 0），A（，，0），D（，0， 0），E（0， 0， 1），F(xiàn)（，，1）。所以=（，，1），=（0，－，１），＝（－，0，１）。所以·= +1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE

（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一個(gè)法向量，設(shè)平面ABE的法向量=（x,y,z）,則·=0，·=0。

即

所以x=0，且z=y。令y=1，則z=。所以n=（），從而cos（，）=

因?yàn)槎�面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D為。