Question

（1）已知a，b∈R^*，a+b=4，求證：

1

a

+

1

b

≥1．
（2）已知a，b，c∈R^*，a+b+c=9，求證：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥1．
并類比上面的結(jié)論寫出推廣后的一般性結(jié)論．（不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可證明不等式

1

a

+

1

b

≥1．
（2）根據(jù)基本不等式，結(jié)合類比即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a+b=4，∴

a

4

+

b

4

=1，則

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（

a

4

+

b

4

）=

1

4

+

1

4

+

b

4a

+

a

4b

≥

1

2

+2

b 4a • a 4b

=

1

2

+

1

2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

4a

=

a

4b

，即a=b=2時(shí)，取等號(hào)．∴

1

a

+

1

b

≥1．
2）由柯西不等式(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥(1+1+1)2，

1

a

+

1

b

+

1

c

≥1，
結(jié)論推廣為：a1+a2+…+an=n2，則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題忽悠考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式成立的條件．