Question

13．設(shè)a≥0，b≥0，$\frac{^{2}}{2}$+a²=1，則a$\sqrt{1-^{2}}$的最大值為1．

Answer 1

分析 由題意可得b²+2a²=2，代入可得a$\sqrt{1-^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}}$，又可得$\frac{1}{2}$≤a²≤1，由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：∵a≥0，b≥0，$\frac{^{2}}{2}$+a²=1，
∴b²+2a²=2，∴1-b²=2a²-1，
∴a$\sqrt{1-^{2}}$=a$\sqrt{2{a}^{2}-1}$=$\sqrt{{a}^{2}（2{a}^{2}-1）}$
=$\sqrt{2{a}^{4}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}}$，
∵b²=2-2a²≥0，1-b²=2a²-1≥0，
∴$\frac{1}{2}$≤a²≤1，由二次函數(shù)可知，
當(dāng)a²=1時，a$\sqrt{1-^{2}}$取最大值1，
故答案為：1．

點評 本題考查函數(shù)的值域，涉及二次函數(shù)的值域，屬中檔題．