Question

已知數(shù)列{a_n}，{c_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，．

（1）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求使得對任意n∈N^*都成立的正整數(shù)m的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1

∴a_n+1+1=2（a_n+1），

∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）

∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

∴，

∴．…（4分）

（Ⅱ）∵，…（6分）

∴

=．…（8分）

∵，

又T_n＞0，

∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列．

∴當(dāng)n=1時，T_n取得最小值．…（10分）

要使得對任意n∈N^*都成立，

結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，只需，

由此得m＞4．

∴正整數(shù)m的最小值是5．…（12分）