3．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞），若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分析 由題意可得x2+2x+a＞0對x≥1恒成立，運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即有x2+2x+a＞0對x≥1恒成立，
即為-a＜x2+2x=（x+1）2-1的最小值，
由x2+2x在[1，+∞）遞增，
即有x=1，取得最小值，且為3，
則-a＜3，解得a＞-3，
故實數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題和易錯題．

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