Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ，g（x）=ax+b．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx﹣ 圖象的切線，求a+b的最小值；
（3）當(dāng)b=0時(shí)，若f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求證：x1x2＞2e2 ．
（取e為2.8，取ln2為0.7，取 為1.4）

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）= ，則 ，

∵h(yuǎn)（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴對(duì)x＞0，都有 ，

即對(duì)x＞0，都有 ，

∵ ，∴a≤0，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]

（2）解：設(shè)切點(diǎn) ，則切線方程為 ，

即 ，亦即 ，

令 ，由題意得 ，

令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，則 ，

當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值為﹣1

（3）證明：由題意知 ， ，

兩式相加得 ，

兩式相減得 ，

即 ，

∴ ，

即 ，

不妨令0＜x1＜x2，記 ，

令 ，則 ，

∴ 在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則 ，

∴ ，則 ，

∴ ，

又 ，

∴ ，即 ，

令 ，則x＞0時(shí)， ，

∴G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

又 ，

∴ ，

則 ，即

【解析】（1）要使h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，則在（0，+）內(nèi)h'（x）0恒成立；（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，構(gòu)造函數(shù)a+b==-lnt+t2-t-1，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的最小值；（3）構(gòu)造函數(shù)F（t）=lnt-，根據(jù)函數(shù)F（x）的單調(diào)性可知lnt，構(gòu)造函數(shù)G（x）=lnx-，并利用導(dǎo)數(shù)討論G（x）的單調(diào)性.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．