Question

【題目】已知函數(shù) 有兩個極值點x1 ， x2 ， 其中b為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）證明：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為R，f'（x）=x+bex．

因為函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，所以f'（x）=x+bex有兩個變號零點，

故關(guān)于x的方程 有兩個不同的解，

令 ，則 ，

當x∈（﹣∞，1）時g'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，

所以函數(shù) 在區(qū)間（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，

又當x→﹣∞時，g（x）→﹣∞；當x→+∞時，g（x）→0，且 ，

故 ，所以

（2）解：不妨設(shè)x1＜x2，由（1）可知，x1＜1＜x2，所以x1，2﹣x2∈（﹣∞，1），

因為函數(shù) 在區(qū)間（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，

若x1+x2＞2即x1＞2﹣x2時，g（x1）＞g（2﹣x2）即g（x1）﹣g（2﹣x2）＞0．

又g（x1）=g（x2），所以g（x1）﹣g（2﹣x2）＞0可化為g（x2）﹣g（2﹣x2）＞0，

即 即 ，

令h（t）=e2t﹣e2t（2﹣t），則h（1）=0，h'（t）=e2﹣e2t（3﹣2t），

令φ（t）=h'（t），則φ（1）=0，φ'（t）=4e2t（t﹣1），

當t＞1時，φ'（t）＞0，所以h'（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則h'（t）＞h'（1）=0，

所以h（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（t）＞h（1）=0．證畢

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程 有兩個不同的解，令 ，則 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為g（x2）﹣g（2﹣x2）＞0，即 ，令h（t）=e2t﹣e2t（2﹣t），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到h（t）＞0，從而證出結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．