Question

定義在R上的函數(shù)f（x），滿足當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0；
（3）解不等式f（3-2x）＞4．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0或f（0）=1．再令y=0，得f（x）=f（x）•f（0），對任意x∈R成立，所以f（0）≠0，即f（0）=1；
（2）對任意x∈R，有f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f（

x

2

）•f（

x

2

）=[f（

x

2

）]²≥0．由條件即可得證；
（3）令x=y=1，求得f（2）=4，再由單調(diào)性的定義，任取x₁，x2，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，有f（x₂-x₁）＞1．則f（x₂）
=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），即可判斷f（x）在R上遞增，即有不等式f（3-2x）＞4即f（3-2x）＞f（2）．運用單調(diào)性即可解得．

解答： （1）解：對任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y）．
令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），即f（0）=0或f（0）=1．
令y=0，得f（x）=f（x）•f（0），對任意x∈R成立，所以f（0）≠0，
因此f（0）=1．
（2）證明：對任意x∈R，有f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f（

x

2

）•f（

x

2

）=[f（

x

2

）]²≥0．
假設(shè)存在x₀∈R，使f（x₀）=0，
則對任意x＞0，有f（x）=f[（x-x₀）+x₀]=f（x-x₀）•f（x₀）=0．
這與已知x＞0時，f（x）＞1矛盾．
所以，對任意x∈R，均有f（x）＞0成立．
（3）解：令x=y=1有f（2）=f²（1）=4，
任取x₁，x2，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，有f（x₂-x₁）＞1．
f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
則f（x）在R上遞增，
不等式f（3-2x）＞4即f（3-2x）＞f（2）．
即有3-2x＞2，即x＜

1

2

，
故不等式的解集為（-∞，

1

2

）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用：解不等式，同時考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．