Question

6．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{c}$|=4，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$之間的夾角$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow＞$為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造△ABC，使$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，根據(jù)△ABC三邊之長，利用余弦定理求出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$之間的夾角即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{c}$|=4，
∴以這三個向量首尾相連組成△ABC；
令$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，
則△ABC三邊之長分別為BC=2，CA=3，AB=4；
由余弦定理，得：
cos∠BCA=$\frac{{BC}^{2}{+CA}^{2}{-AB}^{2}}{2BC•CA}$=$\frac{{2}^{2}{+3}^{2}{-4}^{2}}{2×2×3}$=-$\frac{1}{4}$，
又向量$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{CA}$是首尾相連，
∴這兩個向量的夾角是180°-∠BCA，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{4}$，
即向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$之間的夾角$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow＞$不是特殊角．
故答案為：D．

點(diǎn)評 本題考查了用數(shù)量積表示兩個向量的夾角問題，關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角求解，是基礎(chǔ)題目．