Question

已知：2a²+3b²=10（a＞0，b＞0），求a

2+b2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：2a²+3b²=10（a＞0，b＞0），可得b2=

10-2a2

3

＞0，解得0＜a²＜5．設(shè)t=a

2+b2

，平方可得t2=a2(2+

10-2a2

3

)=-

2

3

a4+

16

3

a2=-

2

3

（a²-4）²+

32

3

，
再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵2a²+3b²=10（a＞0，b＞0），
∴b2=

10-2a2

3

＞0，解得0＜a²＜5．
設(shè)t=a

2+b2

，
則t2=a2(2+

10-2a2

3

)=-

2

3

a4+

16

3

a2=-

2

3

（a²-4）²+

32

3

，
當(dāng)a²=4時(shí)，t²取得最大值

32

3

，
∴當(dāng)a²=4，b²=

2

3

時(shí)，t取得最大值

4 6

3

．
∴a

2+b2

的最大值為

4 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．