Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²，函數(shù)f（x）在x=1處的切線與y軸垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）-f（x），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ax，從而可得f′（1）=0+e-a=0，從而解得；
（2）化簡f（x）=e^xlnx-$\frac{e}{2}$x²，f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ex；從而可得g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{e}{2}$x²-ex；從而求導(dǎo)g′（x）=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+e）；（x∈（0，+∞））；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值．

解答 解：（1）f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ax，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線與y軸垂直，
∴f′（1）=0+e-a=0，
∴a=e；
（2）f（x）=e^xlnx-$\frac{e}{2}$x²，f′（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ex；
故g（x）=f′（x）-f（x）
=（e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$-ex）-（e^xlnx-$\frac{e}{2}$x²）
=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{e}{2}$x²-ex；
故g′（x）=$\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$+ex-e
=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+e）；（x∈（0，+∞））
故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
故g_min（x）=g（1）=$\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．