Question

1．已知圓C：x²+y²=1，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線l：3x+2y-4=0上，若在圓C上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OP}$，則x₀的取值范圍是 （　�。�

• A． （0，$\frac{24}{13}$）
• B． （-$\frac{24}{13}$，0）
• C． （0，$\frac{13}{24}$）
• D． （0，$\frac{13}{12}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件可畫出圖形，根據(jù)圖形便可看出OP的中點(diǎn)在圓內(nèi)，從而可得到$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{2}＜1$，這樣聯(lián)立3x₀+2y₀-4=0即可得出x₀的取值范圍．

解答 解：如圖，
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$；
∴OP與AB互相垂直平分；
∴圓心到直線AB的距離$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{2}＜1$；
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜4$①；
又3x₀+2y₀-4=0；
∴${y}_{0}=2-\frac{3}{2}{x}_{0}$，帶入①得：
${{x}_{0}}^{2}+（2-\frac{3}{2}{x}_{0}）^{2}＜4$；
解得$0＜{x}_{0}＜\frac{24}{13}$；
∴x₀的取值范圍是$（0，\frac{24}{13}）$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，以及兩點(diǎn)間的距離公式，一元二次不等式的解法．