Question

已知函數y=lnx的圖象上三點A，B，C的橫坐標依次為m，m+1，m+2，記△ABC的面積為S=f（m）．
（1）求函數S=f（m）的解析式；
（2）判斷并證明函數S=f（m）的單調性．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數單調性的判斷與證明,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，則S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁C-S梯形AA₁C₁C，進而得出函數f（t）的表達式．
（2）由（1）中得f（ m），先根據 v＞1，推斷v=t²+4t為增函數，進而推斷函數f（t）為減函數．

解答： 解：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，
則S=f（m）=S_{梯形ABB′A′}+S_{梯形CC′BB′}-S_{梯形ACC′A′}=

1

2

[lnm+lm（m+1）]×1+

1

2

[ln（m+1）+ln（m+2）]×1-

1

2

[lnm+ln（m+2）]×2．
即f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)．
（2）f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)，在（0，+∞）上是減函數．
證明：∵v=m²+2m在[-1，+∞）上是增函數，
∴m＞0時，m²+2m是增函數，

1

m2+2m

是減函數．
所以復合函數f(m)=

1

2

ln(1+

1

m2+2m

)(m＞0)，在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題主要考查了函數單調性的應用．常涉及利用單調性求函數的值域和最值等問題．