Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，則a+b的值為3．

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導數(shù)，由題意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分別檢驗a，b，由極大值的定義，即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a的導數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
由在x=1處取得極大值10，可得
f（1）=10，且f′（1）=0，
即為1+a+b-a²-7a=10，3+2a+b=0，
將b=-3-2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，
解得a=-2，b=1或a=-6，b=9．
當a=-2，b=1時，f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
可得f（x）在x=1處取得極小值10；
當a=-6，b=9時，f′（x）=3x²-12x+9=（x-1）（3x-9），
可得f（x）在x=1處取得極大值10．
綜上可得，a=-6，b=9滿足題意．
則a+b=3．
故答案為：3．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求極值，注意運用極值的定義，考查化簡整理的運算能力，注意檢驗，屬于基礎題和易錯題．