Question

15．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，EF∥AD，F(xiàn)A⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于點(diǎn)P
（Ⅰ）證明：PF∥面ECD；
（Ⅱ）求二面角B-EC-A的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、PG，推導(dǎo)出四邊形EFPG是平行四邊形，由此能證明FP∥平面ECD．
（Ⅱ）以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AF所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-EC-A的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、PG，
∵點(diǎn)P為矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)
∴在△ACD中，PG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF$\underset{∥}{=}$PG，
∴四邊形EFPG是平行四邊形，
∴FP∥EG，
又FP?平面ECD，EG?平面ECD，
∴FP∥平面ECD．
解：（Ⅱ）由題意，以AB所在直線為x軸，
AD所在直線為y軸，AF所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
取FB中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則$\overrightarrow{AH}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{EC}$=0，
∴AH⊥平面EBC，
故取平面AEC法向量為$\overrightarrow{AH}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}=x+y-1=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AH}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AH}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AH}|}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{6}•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴二面角B-EC-A的大小為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．