Question

9．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a²+c²-b²=ac，${\overrightarrow{CA}^{\;}}{•^{\;}}\overrightarrow{AB}＞0$，$b=\sqrt{3}$，則a+c的取值范圍是（　�。�

• A． （2，3）
• B． $（\sqrt{3}，3）$
• C． （1，3）
• D． （1，3]

Answer 1

分析 根據(jù)a²+c²-b²=ac，代入到余弦定理中求得cosB的值，進(jìn)而求得B，再確定a=2RsinA=2sinA，c=2RsinC=2sinC，結(jié)合A的范圍，代入利用輔助角公式，即可得出結(jié)論

解答 解：∵a²+c²-b²=ac，b=$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B是三角形內(nèi)角，∴B=60°，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵${\overrightarrow{CA}^{\;}}{•^{\;}}\overrightarrow{AB}＞0$，∴cosA＜0，∴A為鈍角．
由正弦定理可得a=$\frac{sinB}$•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$•sinA=2sinA，
同理c=$\frac{sinB}•sinC$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$•sinC=2sinC．
三角形ABC中，B=60°，∴A+C=120°．
a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin（120°-A）=3sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵90°＜A＜120°，∴120°＜A+30°＜150°，
∴sin（A+30°）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴2$\sqrt{3}$sin（A+30°）∈（$\sqrt{3}$，3），
∴a+c的取值范圍為：（$\sqrt{3}$，3）．
故選：B．

點評 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，注意余弦定理的變形式的應(yīng)用是關(guān)鍵，屬于中檔題．