Question

(本小題滿(mǎn)分14分) 如圖3所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面，，，，分別為、、的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer 1

（1）證明略；
（2）

（1）證法1：∵平面，平面，∴．
又為正方形，∴．
∵，∴平面．……………………………………………3分
∵平面，∴．
∵，∴．…………………………………………………………6分
證法2：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ，，，．………4分
∵，∴．………6分

（2）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，……………8分
設(shè)平面DFG的法向量為，
∵
令，得是平面的一個(gè)法向量．…………………………10分
設(shè)平面EFG的法向量為，
∵
令，得是平面的一個(gè)法向量．……………………………12分
∵．
設(shè)二面角的平面角為θ，則．
所以二面角的余弦值為．………………………………………14分
解法2：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，W
則，，，，，
，，．………………………………8分
過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，
∵三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．………………………………………………10分
再過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，
∵三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．……………………………………………12分
∴．
∵與所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值為．………………………………………14分