Question

15．已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|，g（x）=x²-（2+3k）x+2k+1．若方程g[f（x）]=0有3個(gè)不同實(shí)根，則k的取值范圍為$k=-\frac{1}{2}$或k＞0．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)設(shè)t=f（x），得到設(shè)t=f（x）的圖象，由方程g[f（x）]=0有3個(gè)不同實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程g（t）=0的根的公式，利用一元二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=f（x），則g（t）=0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則當(dāng)t≥1時(shí)，方程t=f（x）有一個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程t=f（x）有2個(gè)根，
當(dāng)t=0時(shí)，方程t=f（x）有一個(gè)根，
若方程g[f（x）]=0有3個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于方程g（t）=0，
即t²-（2+3k）t+2k+1=0有兩個(gè)根t₁、t₂，其中0＜t₁＜1且t₂＞1，或0＜t₁＜1且t₂=0，
當(dāng)0＜t₁＜1且t₂＞1時(shí)，即$\left\{{\begin{array}{l}{g（0）=2k+1＞0}\\{g（1）=-k＜0}\end{array}}\right.$，
∴k＞0．
當(dāng)0＜t₁＜1且t₂=0時(shí)，
$k=-\frac{1}{2}$，此時(shí)$g（x）={x^2}-\frac{1}{2}x=0$的根為0和$\frac{1}{2}$，滿足題意．
綜上，k的取值范圍為$k=-\frac{1}{2}$或k＞0．
故答案為：$k=-\frac{1}{2}$或k＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷和應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．