Question

20．如圖，過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA、PB，A，B為切點(diǎn)，再過P點(diǎn)作圓的一條割線分別與圓交于點(diǎn)C、D，過AB上任一點(diǎn)Q作PA的平行線分別與直線AC、AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明：QE=QF．

Answer 1

分析 先證過B作PA的平行線分別與直線AC、AD交于點(diǎn)E'，F(xiàn)'，BE'=BF'．連接BC、BD．由圓的切線、割線定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠PAC=∠E'，則推出△ABC∽△AE'B，得出相關(guān)邊的比，然后可得∠ABF'=∠PAB=∠ADB，所以△ABF'∽△ADB，得出相關(guān)邊的比，結(jié)合切線定理可得BE'=BF'，再由平行線分線段成比例即可得到結(jié)論．

解答 證明：先證過B作PA的平行線分別與直線AC、AD交于點(diǎn)E'，F(xiàn)'，
BE'=BF'．
如圖，連接BC、BD．
所以∠ABC=∠PAC=∠E'，則△ABC∽△AE'B．
從而，$\frac{BE′}{BC}$=$\frac{AB}{AC}$，即BE'=$\frac{AB•BC}{AC}$=AB•$\frac{BC}{AC}$①，
∵PA∥E'F'，PA是圓的切線，
∴∠ABF'=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF'∽△ADB，從而$\frac{BF'}{BD}$=$\frac{AB}{AD}$，
即BF'=$\frac{AB•BD}{AD}$=AB•$\frac{BD}{AD}$②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{PC}{PB}$，$\frac{AC}{AD}$=$\frac{PC}{PA}$．
∵PA、PB是過圓外一點(diǎn)P作的圓的兩條切線，
∴PA=PB，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AC}{AD}$，于是$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$③，
∴由式①、②、③即知BE'=BF'．
由平行線分線段成比例，可得QE=QF．

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理、圓的切線、割線定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵在于根據(jù)弦切角定理、平行線的性質(zhì)求出角的相等關(guān)系，得出相似三角形，求出比例關(guān)系．