Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}}$）-4sin²ωx（ω＞0），其圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，試討論g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}}$）-4sin²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-4•$\frac{1-cos2ωx}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{3}{2}$cos2ωx-2=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-2（ω＞0），
∵其圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=1，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-2．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-2的圖象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
再結(jié)合x(chóng)∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z．
再結(jié)合x(chóng)∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，可得函數(shù)的減區(qū)間為[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．