Question

【題目】設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3=7，且a1+3，3a2 ， a3+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）令bn=lna3n+1 ， n=1，2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得

解得a2=2．

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2=2，

可得 ．

又S3=7，可知 ，

即2q2﹣5q+2=0，

解得

由題意得q＞1，

∴q=2，

∴a1=1．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n﹣1

（2）解：由于bn=lna3n+1，n=1，2，

由（1）得a3n+1=23n，

∴bn=ln23n=3nln2，又bn+1﹣bn=3ln2，

∴{bn}是等差數(shù)列．

∴Tn=b1+b2++bn

=

=

= ．

故

【解析】（1）由{an}是公比大于1的等比數(shù)列，S3=7，且a1+3，3a2 ， a3+4構(gòu)成等差數(shù)列，我們不難構(gòu)造方程組，解方程組即可求出相關(guān)基本量，進(jìn)而給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）由bn=lna3n+1 ， n=1，2，…，我們易給出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，分析后可得：數(shù)列{bn}是一個(gè)等差數(shù)列，代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求出Tn
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識(shí)，掌握通項(xiàng)公式：，以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．