Question

12．如圖，過圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交B，C兩點(diǎn)，且AB=$\frac{1}{3}$AC，作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)D，己知圓E的半徑為2，∠EBC=$\frac{π}{6}$．
（1）求AF的長；
（2）求證：AD=3ED．

Answer 1

分析 （1）延長BE交圓E于點(diǎn)M，連結(jié)CM，則可求BC=2$\sqrt{3}$，AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，利用切割線定理即可求得AF的值．
（2）過E作EH⊥BC于H，可知△EDH與△ADF相似，由$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，可求AD=3ED．

解答 解：（1）延長BE交圓E于點(diǎn)M，連結(jié)CM，則∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=2$\sqrt{3}$，
又AB=$\frac{1}{3}AC$，可知AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$．
所以根據(jù)切割線定理AF²=AB•AC=$\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$，即AF=3．（5分）
（2）過E作EH⊥BC于H，則△EDH與△ADF相似，
從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，因此AD=3ED．（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了切割線定理的應(yīng)用，考查了相似三角形的判定，與圓有關(guān)的比例線段，屬于基本知識(shí)的考查．