Question

4．已知F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₂作直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點(diǎn)，若△F₁AB是以∠A為直角的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 可設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由雙曲線的定義，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)|AF₂|=m，由|AF₁|-|AF₂|=2a，
∴|AF₁|=2a+|AF₂|=2a+m，
又|AF₁|=|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m+|BF₂|，
∴|BF₂|=2a，又|BF₁|-|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=4a，
依題意|BF₁|=$\sqrt{2}$|AF₁|，即4a=$\sqrt{2}$（2a+m），∴m=2（$\sqrt{2}$-1）a，
在Rt△F₁AF₂中，|AF₁|²+|AF₂|²=4c²，即8a²+（2$\sqrt{2}$a-2a）²=4c²，
即c²=（5-2$\sqrt{2}$）a²，∴e=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故答案為：$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查勾股定理的運(yùn)用，靈活運(yùn)用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．