Question

14．已知三棱錐P-ABC的體積為$\frac{8}{3}，PA⊥$底面ABC，且△ABC的面積為4，三邊AB，BC，CA的乘積為16，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為8π．

Answer 1

分析 設(shè)△ABC外接圓半徑為r，設(shè)三棱錐P-ABC球半徑為R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R=OP，由此能求出三棱錐的外接球的表面積．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}ab×\frac{c}{2r}=\frac{abc}{4r}$，解得r=1
∵三棱錐P-ABC的體積為$\frac{8}{3}，PA⊥$底面ABC，且△ABC的面積為4．
∴$\frac{1}{3}×4×PA=\frac{8}{3}$，∴PA=2
如圖，設(shè)球心為O，M為△ABC的外接圓的圓心，則OM=$\frac{1}{2}PA=1$
則三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=$\sqrt{O{M}^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=8π．
故答案為：8π

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的外接球體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、勾股定理的合理運(yùn)用．屬于中檔題．