Question

6．若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，BC=2，則$\frac{AB}{AC}$的取值范圍是[$\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]．

Answer 1

分析 作AD⊥BC，交BC于D，設(shè)BD=x，則AD=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{{x}^{2}+3}$，AC=$\sqrt{{x}^{2}-4x+7}$，從而$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}}$，設(shè)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}$，（0≤x≤2），則${f}^{'}（x）=\frac{16-4（x-1）^{2}}{（{x}^{2}-4x+7）^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出$\frac{AB}{AC}$的取值范圍．

解答 解：作AD⊥BC，交BC于D，設(shè)BD=x，
則AD=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{{x}^{2}+3}$，AC=$\sqrt{3+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-4x+7}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}}$，
設(shè)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}-4x+7}$，（0≤x≤2），
則${f}^{'}（x）=\frac{16-4（x-1）^{2}}{（{x}^{2}-4x+7）^{2}}$，
當(dāng)0≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立，
∴x=0時，f（x）取最小值$\frac{3}{7}$，x=2時，f（x）取最大值$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{AB}{AC}$的取值范圍是[$\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$]．

點評 本題考查三角形中兩線段比值的求法，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．