Question

已知函數(shù)f（x）=

1 x -1，0＜x＜1 1- 1 x ，x≥1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；
（2）當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）若存在實(shí)數(shù)a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調(diào)性．
（2）由題意可得，

1

a

-1=1-

1

b

，從而求得

1

a

+

1

b

的值．
（3）由題意可得1-

1

a

=ma，1-

1

b

mb，故方程1-

1

x

=mx有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根，即mx²-x+1=0有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根．令h（x）=mx²-x+1，則由

△=1-4m＞0 1 2m ＞1 h(1)=m＞0

求得m的范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函數(shù)為減函數(shù)；
在[1，+∞）上函數(shù)為增函數(shù)．
（2）∵當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，∴

1

a

-1=1-

1

b

，
∴

1

a

+

1

b

=2．
（3）若存在實(shí)數(shù)a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），
則函數(shù)f（x）在[a，b]上是增函數(shù)，故[a，b]⊆（1，+∞）．
可得1-

1

a

=ma，1-

1

b

mb，故方程1-

1

x

=mx有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根，
即mx²-x+1=0有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根．
令h（x）=mx²-x+1，則有

△=1-4m＞0 1 2m ＞1 h(1)=m＞0

，求得0＜m＜

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．