Question

已知函數f（x）=

1 x -1，0＜x＜1 1- 1 x ，x≥1

．
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調性（不必證明）；
（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）若存在實數a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的解析式判斷函數在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調性．
（2）由題意可得，

1

a

-1=1-

1

b

，從而求得

1

a

+

1

b

的值．
（3）由題意可得1-

1

a

=ma，1-

1

b

mb，故方程1-

1

x

=mx有2個大于1的不等實數根，即mx²-x+1=0有2個大于1的不等實數根．令h（x）=mx²-x+1，則由

△=1-4m＞0 1 2m ＞1 h(1)=m＞0

求得m的范圍．

解答： 解：（1）由函數f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函數為減函數；
在[1，+∞）上函數為增函數．
（2）∵當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，∴

1

a

-1=1-

1

b

，
∴

1

a

+

1

b

=2．
（3）若存在實數a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[ma，mb]（m≠0），
則函數f（x）在[a，b]上是增函數，故[a，b]⊆（1，+∞）．
可得1-

1

a

=ma，1-

1

b

mb，故方程1-

1

x

=mx有2個大于1的不等實數根，
即mx²-x+1=0有2個大于1的不等實數根．
令h（x）=mx²-x+1，則有

△=1-4m＞0 1 2m ＞1 h(1)=m＞0

，求得0＜m＜

1

4

．

點評：本題主要考查函數的單調性的性質，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．