Question

18．已知圓心為O，半徑為1的圓上有三點A、B、C，若7$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+8$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將向量的等式移項后，平方再由向量的數(shù)量積的定義可得∠BOC=120°，再由余弦定理可得|BC|．

解答 解：7$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+8$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得7$\overrightarrow{OA}$=-（5$\overrightarrow{OB}$+8$\overrightarrow{OC}$），
兩邊平方可得，49=25+64+2×5×8$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
解得$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$，
由$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos∠BOC=cos∠BOC=-$\frac{1}{2}$，
即有|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的運算和性質(zhì)，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．