Question

20．已知圓O₁：（x-2）²+y²=16和圓O₂：x²+y²=r²（0＜r＜2），動(dòng)圓M與圓O₁、圓O₂都相切，切圓圓心M的軌跡為兩個(gè)橢圓，這兩個(gè)橢圓的離心率分別為e₁，e₂（e₁＞e₂），則e₁+2e₂的最小值是$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 討論：①當(dāng)動(dòng)圓M與圓O₁、O₂都相內(nèi)切時(shí)，②當(dāng)動(dòng)圓M與圓O₁相內(nèi)切而與O₂相外切時(shí)，分別求出e₁、e₂（e₁＞e₂），利用基本不等式求出e₁+2e₂的最小值．

解答 解：①當(dāng)動(dòng)圓M與圓O₁、O₂都相內(nèi)切時(shí)，
|MO₂|+|MO₁|=4-r=2a，
∴e₁=$\frac{2}{4-r}$．
②當(dāng)動(dòng)圓M與圓O₁相內(nèi)切而與O₂相外切時(shí)，
|MO₁|+|MO₂|=4+r=2a′，
∴e₂=$\frac{2}{4+r}$，
∴e₁+2e₂=$\frac{2}{4-r}$+$\frac{4}{4+r}$=$\frac{24-2r}{16-{r}^{2}}$，
令12-r=t（10＜t＜12），e₁+2e₂=2×$\frac{1}{24-t-\frac{128}{t}}$≥2×$\frac{1}{24-16\sqrt{2}}$
=$\frac{1}{12-8\sqrt{2}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓相切的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)，主要是橢圓的離心率，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．