Question

15．在平面直角坐標系xOy內(nèi)，動點P到定點F（-1，0）的距離與P到定直線x=-4的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若軌跡C上的動點N到定點M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值為1，求m的值．
（3）設點A、B是軌跡C上兩個動點，直線OA、OB與軌跡C的另一交點分別為A₁、B₁，且直線OA、OB的斜率之積等于$-\frac{3}{4}$，問四邊形ABA₁B₁的面積S是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），由兩點間距離公式和點到直線距離公式能求出動點P的軌跡C的方程．
（2）設N（x，y），利用兩點間距離公式能求出m．
（3）法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，由點A、B在橢圓C上，得$x_1^2+x_2^2=4$，由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性，結合已知條件能求出四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$．
法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂），由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，點A、B在橢圓C上，得$x_1^2+x_2^2=4$．由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性，結合已知條件能求出四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$． 
法三：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂），由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，點A、B在橢圓C上，得$x_1^2+x_2^2=4$．由此利用行列式性質及橢圓的對稱性，能求出四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$．

解答 解：（1）設P（x，y），
∵動點P到定點F（-1，0）的距離與P到定直線x=-4的距離之比為$\frac{1}{2}$，
∴由題意，$\frac{{\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}}}{|x+4|}=\frac{1}{2}$，…（2分）
化簡得3x²+4y²=12，…（3分）
∴動點P的軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．  …（4分）
（2）設N（x，y），
則$|MN{|^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（{1-\frac{x^2}{4}}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}+3$=$\frac{1}{4}{（x-4m）^2}+3（1-{m^2}）$，-2≤x≤2．     …（2分）
①當0＜4m≤2，即$0＜m≤\frac{1}{2}$時，當x=4m時，|MN|²取最小值3（1-m²）=1，
解得${m^2}=\frac{2}{3}$，$m=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，此時$x=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}＞2$，故舍去．   …（4分）
②當4m＞2，即$\frac{1}{2}＜m＜2$時，當x=2時，|MN|²取最小值m²-4m+4=1，
解得m=1，或m=3（舍）．  …（6分）
綜上，m=1．
（3）解法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，（1分），$|AB|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$，
∵點A、B在橢圓C上，∴$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
∴$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，化簡得$x_1^2+x_2^2=4$．  …（2分）
①當x₁=x₂時，則四邊形ABA₁B₁為矩形，y₂=-y₁，則$\frac{y_1^2}{x_1^2}=\frac{3}{4}$，
由$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，得$\frac{3}{4}x_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，解得$x_1^2=2$，$y_1^2=\frac{3}{2}$，
S=|AB|•|A₁B|=4|x₁||y₁|=$4\sqrt{3}$．     …（3分）
②當x₁≠x₂時，直線AB的方向向量為$\vec d=（{x_2}-{x_1}\;，\;{y_2}-{y_1}）$，
直線AB的方程為（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
原點O到直線AB的距離為$d=\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}}}$
∴△AOB的面積${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，
根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形ABA₁B₁的面積S=4S_△AOB=2|x₁y₂-x₂y₁|，…（4分）
∴${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，∴$S=4\sqrt{3}$．
∴四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$．    …（6分）
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂），
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，…（1分）
∵點A、B在橢圓C上，所以$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
∴$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，化簡得$x_1^2+x_2^2=4$．  …（2分）
直線OA的方程為y₁x-x₁y=0，點B到直線OA的距離$d=\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}$，
△ABA₁的面積${S_{△AB{A_1}}}=\frac{1}{2}•|A{A_1}|•d=|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，…（3分）
根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形ABA₁B₁的面積$S=2{S_{△AB{A_1}}}$=2|x₁y₂-x₂y₁|，…（4分）
∴${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，∴$S=4\sqrt{3}$．
∴四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$．       …（6分）
解法三：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，-y₁），B₁（-x₂，-y₂）
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{3}{4}$，得$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，…（1分）
∵點A、B在橢圓C上，所以$y_1^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，$y_2^2=3（{1-\frac{x_2^2}{4}}）$，
∴$9x_1^2x_2^2=16y_1^2y_2^2$=$9（4-x_1^2）（4-x_2^2）$，化簡得$x_1^2+x_2^2=4$．  …（2分）
△ABA₁的面積${S_{△AB{A_1}}}=\frac{1}{2}|{|{\begin{array}{l}{x_1}&{y_1}&1\\{{x_2}}&{y_2}&1\\{-{x_1}}&{-{y_1}}&1\end{array}}|}|$=|x₁y₂-x₂y₁|，…（3分）
根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形ABA₁B₁的面積$S=2{S_{△AB{A_1}}}$=2|x₁y₂-x₂y₁|，…（4分）
∴${S^2}=4{（{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}）^2}=4（x_1^2y_2^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+x_2^2y_1^2）$
=$4[{3x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+\frac{3}{2}x_1^2x_2^2+3x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）}]=12（x_1^2+x_2^2）=48$，∴$S=4\sqrt{3}$．
∴四邊形ABA₁B₁的面積為定值$4\sqrt{3}$．  …（6分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查四邊形面積是否為定值的求法與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式、橢圓的對稱性的合理運用．