【題目】設(shè)橢圓()的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可。

(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，

∴橢圓的方程可設(shè)為.

易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，

解得，∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，

，∴.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為，，

∴，即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得，

∴，得.

∵，

∴，

，

∴.

綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.

在中，由與相似得，為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某物流公司欲將一批海產(chǎn)品從A地運(yùn)往B地，現(xiàn)有汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具可供選擇，這三種工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：

運(yùn)輸工具

途中速度（）

途中費(fèi)用（元/）

裝卸時(shí)間（）

裝卸費(fèi)用（元/）

汽車

50

80

2

200

火車

100

40

3

400

飛機(jī)

200

200

3

800

若這批海產(chǎn)品在運(yùn)輸過(guò)程中的損耗為300元/，問(wèn)采用哪種運(yùn)輸方式比較好，即運(yùn)輸過(guò)程中的費(fèi)用與損耗之和最小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點(diǎn)圖(如下圖)．

1.47

20.6

0.78

2.35

0.81

-19.3

16.2

表中．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說(shuō)明理由)

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)甲,乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;

(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得萬(wàn)元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)萬(wàn)元,求該企業(yè)可獲得利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào)．某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：

試銷單價(jià)（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量（件）

84

83

80

75

68

已知．

（1）求出的值；

（2）已知變量具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（件）關(guān)于試銷單價(jià)（元）的線性回歸方程；可供選擇的數(shù)據(jù)：，；

（3）用表示用（2）中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值．當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，求“好數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（參考公式：線性回歸方程中的最小二乘估計(jì)分別為，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為的圖象與x軸的交點(diǎn)，且為等邊三角形.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍后，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足， ，其中，則稱為的“陪伴數(shù)列”.

（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列的“陪伴數(shù)列”；

（Ⅱ）若的“陪伴數(shù)列”是.試證明： 成等差數(shù)列.

（Ⅲ）若為偶數(shù)，且的“陪伴數(shù)列”是，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)M軌跡C的方程；

（2）設(shè)N（0，2），過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問(wèn)k1+k2是否為定值？若是的求出這個(gè)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別 ，過(guò)作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，滿足.

（1）求橢圓的離心率.

（2）是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線分別與軸相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求橢圓的方程.

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