Question

設P（t，0）為x軸上的動點，過P作拋物線y=x²+1的兩條切線，切點分別為A、B
（1）求線段AB中點M的軌跡方程；
（2）求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標．
（3）設△PAB的面積為S，求

S

|OP|

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設出過P的切線方程，與拋物線方程聯立，因為切線與拋物線只可能有一個交點，所以∴△=0，就可求出兩條切線的斜率之積，再用導數求出曲線在A，B點的切線斜率，用A，B點的橫坐標表示，就可得到A，B點的橫坐標的關系式，因為M時A，B的中點，把M點坐標用A，B點坐標表示，代入前面求出的A，B橫坐標滿足的關系式，消去參數，就可得到M點的軌跡方程．
（2）利用導數，求出曲線在A，B點的切線斜率，把兩條切線方程都用以A，B點坐標為參數的方程表示，觀察兩個方程，形式相同，都滿足y=2tx+2，所以可得到直線AB的方程為y=2tx+2．
（3）用點到直線的距離公式求出三角形PAB的高，用弦長公式求出線段AB長，代入

S

|OP|

，化簡為直含t的式子，再用導數求出最小值．

解答：解：（1）設過P（t，0）與拋物線y=x²+1的相切的直線的斜率是k，
則該切線的方程為：y=k（x-t）
由 

y=x2+1 y=k(x-t)

，得，x²-kx+（kt+1）=0
∵直線與拋物線相切，
∴方程x²-kx+（kt+1）=0有一解，
∴△=k²-4（kt+1）=k²-4tk-4=0
則k₁，k₂都是方程k²-4tk-4=0的解，故k₁k₂=-4
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
對函數y=x²+1求導數，得y′=2x，
∴拋物線y=x²+1在A（x₁，y₁）點處的切線斜率為2x₁，在B（x₂，y₂）點處的切線斜率為2x₂，
∴2x₁•2x₂=-4，即x₁x₂=-1
∵M為AB中點，∴x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

∵A，B點在拋物線y=x²+1，∴y₁=x₁²+1，y₂=x₂²+1，
∴y₁+y₂=x₁²+1+x₂²+1=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2
即2y=（2x）²+2+2，2x²-y+2=0
∴線段AB中點M的軌跡方程為2x²-y+2=0
（2）由（1）知，直線PA的方程為y-y₁=2x₁（x-x₁），直線PB的方程為y-y₂=2x₂（x-x₂），
∵P（t，0）為兩條切線的交點，∴-y₁=2x₁（t-x₁），即-y₁=2x₁t-2x₁²，
∵y₁=x₁²+1，∴-y₁=2x₁t-2（y₁-1），y₁=2x₁t+2，同理，y₂=2x₂t+2，
∴直線AB的方程是y=2tx+2，則直線PQ過定點（0，2）．
（3）P點到AB的距離d=

|2t2+2|

4t2+1

=

2|t2+1|

4t2+1

聯立直線AB與拋物線y=x²+1，

y=2tx+2 y=x2+1

消去y，得，x²-2tx-1=0
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-1，∴|AB|=

1+4t2

|x₁-x₂|=

1+4t2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+4t2

4t2+4

|OP|=|t|
∴

S

|OP|

=

1 2 |AB|d

|OP|

=

1 2 1+4t2 4t2+4 2|t2+1| 4t2+1

|t|

=

2 t2+1 |t2+1|

|t|

=2

(t2+1)3 t2

（t≠0）
令

S

|OP|

=m，則m=

(t2+1)3 t2

對m求導，的m′=

2t3+6t -2t-3

t4+3t2+3+t-2

，令m′=0，得，t=-

2

2

，
∵當t＜0時，m′＜0．t＞0時，m′＞0，∴函數m=

(t2+1)3 t2

在t=-

2

2

處有極小值，
又∵函數在整個定義域上只有一個極小值，
∴此時函數有最小值，也即

S

|OP|

有最小值，最小值為

3 3

2

．

點評：本題主要考查直線與拋物線相切位置關系的判斷，導數與曲線的切線斜率之間的關系，以及應用導數求函數的最小值．