Question

已知甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有大小、形狀完全相同的4個(gè)小球，其中甲袋中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙袋中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球．現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)摸取2個(gè)球裝入乙袋中，再?gòu)囊掖�中隨機(jī)摸取2個(gè)球裝入甲袋，此時(shí)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)記為隨機(jī)變量ξ．
（Ⅰ）求此時(shí)乙袋中恰有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式，即可求此時(shí)乙袋中恰有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）ξ的取值為1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）乙袋中恰有1個(gè)紅球的概率P=

C 0 2

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

1

30

．             …（5分）
（Ⅱ）由已知，ξ的取值為1，2，3，4．…（6分）
其中P(ξ=1)=

C 2 2

C 2 4

•

C 1 5 C 1 1

C 2 6

+

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 2 2

C 2 6

=

9

90

=

1

10

；…（7分）
P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 4

•

C 2 5

C 2 6

+

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 1 4 C 1 2

C 2 6

+

C 0 2

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

45

90

=

1

2

；…（8分）
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 2 4

C 2 6

+

C 0 2

C 2 4

•

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

33

90

=

11

30

；…（9分）
P（ξ=4）=

C 0 2

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

3

90

=

1

30

．…（10分）
所以ξ分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 10	1 2	11 30	1 30

…（12分）
所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

10

+2×

1

2

+3×

11

30

+4×

1

30

=

7

3

． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．