Question

16．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=$\frac{1}{2}$，則下列有四個結論：
①AC⊥BE    
②EF∥平面ABCD
③三棱錐A-BEF的體積為定值    
④△AEF的面積與△BEF的面積相等．
其中錯誤的結論個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①由線面垂直得出線線垂直；
②由面面平行得出線面平行；
③可求出該三棱錐的體積為定值；
④由△AEF與△BEF是同底不等高，得出面積不相等．

解答 解：對于①，根據(jù)題意，結合圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，BE?平面DD₁B₁B，
∴AC⊥BE，命題正確；
對于②，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，
∴EF∥平面ABCD，命題正確；
對于③，三棱錐A-BEF的體積為V_{三棱錐A-BEF}=$\frac{1}{3}$•S_△BEF•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$，
∴三棱錐A-BEF的體積為定值，命題正確；
對于④，∵點B到直線EF的距離與點A到直線EF的距離不相等，
∴△AEF與△BEF的面積不相等，命題錯誤；
綜上，錯誤的命題有1個．
故選：B．

點評 本題以正方體為載體，考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了面積與體積的計算問題，
是綜合性題目．