Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為e=2，右焦點(diǎn)F到其漸進(jìn)線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線y²=2px的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)F重合．過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，正三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線x=-1上，則△ABC的邊長(zhǎng)是（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 易求拋物線的方程為y²=4x．如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過(guò)A、B、M分別作AA₁、BB₁、MN垂直于直線x=-1于A₁、B₁、N，設(shè)∠AFx=θ，根據(jù)拋物線的定義和三角函數(shù)的正弦、余弦定義得到sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
再結(jié)合拋物線的定義求得|AF|=$\frac{2}{1-cosθ}$，|BF|=$\frac{2}{1+cosθ}$，則易求|AB|的值．

解答 解：依題知，雙曲線的右焦點(diǎn)也即拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），所以拋物線的方程為y²=4x，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過(guò)A、B、M分別作AA₁、BB₁、MN垂直于直線x=-1于A₁、B₁、N，設(shè)∠AFx=θ，
由拋物線定義知：
|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
∵|MC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
∴|MN|=$\frac{1}{\sqrt{3}}$|MC|，
∵∠CMN=90°-θ，
∴cos∠CMN=cos（90°-θ）=$\frac{|MN|}{|MC|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
又由拋物線的極坐標(biāo)方程，知|AF|=$\frac{2}{1-cosθ}$，|BF|=$\frac{2}{1+cosθ}$，
∴|AB|=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=12．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解答該題時(shí)需要數(shù)量掌握雙曲線的焦點(diǎn)的求法，拋物線的定義，綜合性比較強(qiáng)，難度較大．