Question

1．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ=4sinθ．
（1）寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（4\sqrt{3}，\frac{π}{3}）$，求|PM|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)t得直線l的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出M，P的直角坐標(biāo)，即可求|PM|的值．

解答 解：（1）已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y=$\sqrt{3}x$+3，
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ=4sinθ，化為ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴x²=4y．…（5分）
（2）由直線與拋物線方程，消去y得x²-4$\sqrt{3}$x-12=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB的中點(diǎn)M（2$\sqrt{3}$，9）…（8分）
又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，6），…（9分）
所以|PM|=3…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．