Question

10．已知命題p：不等式m²+2m-1≤x+$\frac{1}{x}$對(duì)任意x＞0恒成立，命題q：指數(shù)函數(shù)y=（5-m²）^x是增函數(shù)．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q成立的等價(jià)條件，利用“p∨q”為真，“p∧q”為假，確定m的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)任意x＞0，x+$\frac{1}{x}$≥2，
∴若不等式m²+2m-1≤x+$\frac{1}{x}$對(duì)任意x＞0恒成立，
則不等式m²+2m-1≤2即可，即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，即p：-3≤m≤1，
若指數(shù)函數(shù)y=（5-m²）^x是增函數(shù)，則5-m²＞1，即m²＜4，解得，-2＜m＜2，即q：-2＜m＜2，
若“p∨q”為真，“p∧q”為假，
則p，q一真一假，
若p真，q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{m≥2或m≤-2}\end{array}\right.$，解得-3≤m≤-2．
若p假，q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞-2或m＜-3}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，解得1＜m＜2．
綜上：-3≤m≤-2或1＜m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系的應(yīng)用，利用條件求出p，q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．