Question

5．已知方程x²+y²-2mx-4y+5m=0的曲線是圓C．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-2時，求圓C截直線l：2x-y+1=0所得弦長；
（3）若圓C與直線2x-y+1=0相交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用右側(cè)大于0，即可求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-2時，求出圓的圓心與半徑利用圓心到直線的距離，半徑，半弦長滿足勾股定理，求圓C截直線l：2x-y+1=0所得弦長；
（3）若圓C與直線2x-y+1=0相交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，得到$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，設(shè)M
（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出x₁x₂+y₁y₂=0，聯(lián)立 由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2mx-4y+5m=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，推出x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，即可求得m的值．

解答 解：（1）方程x²+y²-2mx-4y+5m=0化為：（x-m）²+（y-2）²=m²-5m+4的曲線是圓，
∴m²-5m+4＞0  
解得：m＜1或m＞4；
（2）設(shè)m=-2，圓心為C（-2，2），半徑r=3$\sqrt{2}$，
圓心到直線的距離為d=$\frac{|-4-2+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\sqrt{5}$，
圓C截直線l：2x-y+1=0所得弦長為：2$\sqrt{{r}^{2}-vlvfxhh^{2}}=2\sqrt{18-5}=2\sqrt{13}$；
（3）以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，即OM⊥ON
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2mx-4y+5m=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，
整理得：5x²-（2m+4）x+5m-3=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{5}（m+2）}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{5}（5m-3）}\end{array}\right.$，
∴x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，
即5m-3+$\frac{4}{5}$（m+2）+1=0，
m=$\frac{2}{29}$．
經(jīng)檢驗(yàn)，此時△=（2m+4）²-20（5m-3）＞0，
∴m=$\frac{2}{29}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，考查設(shè)而不求的解題方法，考查計算能力，是中檔題．